Всем знакомые
вещественные числа наделены сложением — операцией, обладающей некоторым набором свойств. Похожими свойствами обладают и многие другие из объектов, которые изучает математика, — например, множество вращений
плоскости вокруг начала координат. Теория групп занимается изучением взаимосвязей между этими свойствами в общем виде. Структура группы включается в различные другие
алгебраические структуры, такие как
поля,
векторные пространства или
группы Ли. Кроме того, группы являются важными инструментами в изучении
симметрии во всех её проявлениях.