Метрический тензор

Метрический тензор или метрика — это симметричное тензорное поле ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в каждом касательном пространстве, а следовательно (или иначе говоря) длины кривых и углы между кривыми. Формально любое симметричное тензорное поле ранга 2 (быть может, с наложением некоторых дополнительных условий - как то невырожденности или положительной определенности, если мы хотим иметь невырожденную или положительно определенную метрику - см. ниже) может рассматриваться как метрический тензор, однако как правило, исходя из каких-то содержательных соображений (которые очевидны например в элементарной геометрии) или по произвольному выбору, на многообразии рассматривается только одна метрика.