Степенная функция комплексного переменного
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=4128)
с целочисленным показателем определяется с помощью
аналитического продолжения аналогичной функции вещественного аргумента. Для этого применяется показательная форма записи комплексных чисел.
А именно, известно, что любое комплексное число может быть представлено через его модуль и аргумент с помощью
формулы Эйлера в виде
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=1657)
. Пользуясь этим, запишем пока формальное выражение для степенной функции:
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=3626)
Исходя из этого, можно сделать вывод, что на вещественной прямой введенная таким выражением функция будет совпадать с классической степенной функцией. Далее, степенная функция с целочисленным показателем является
аналитической во всей комплексной плоскости, как произведение конечного числа экземпляров тождественного отображения
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=270)
. Согласно
теореме единственности эти два признака достаточны для единственности полученного
аналитического продолжения