Die
Wärmeleitungsgleichung oder
Diffusionsgleichung ist eine
partielle Differentialgleichung. Sie ist das typische Beispiel einer
parabolischen Differentialgleichung, beschreibt den Zusammenhang zwischen der zeitlichen und der räumlichen Änderung der Temperatur an einem Ort in einem Körper und eignet sich zur Berechnung instationärer
Temperaturfelder. Im eindimensionalen Fall (ohne Wärmequellen) besagt sie, dass die zeitliche (
Ableitung) der Temperatur das Produkt aus der zweiten räumlichen Ableitung und der
Temperaturleitfähigkeit ist. Dies hat eine anschauliche Bedeutung: Wenn die zweite räumliche Ableitung an einem Ort ungleich null ist, so unterscheiden sich die ersten Ableitungen kurz vor und hinter diesem Ort. Der Wärmestrom, der zu diesem Ort fließt, unterscheidet sich also nach dem
Fourierschen Gesetz von dem, der von ihm weg fließt. Es muss sich also die Temperatur an diesem Ort mit der Zeit ändern. Mathematisch sind Wärmeleitungsgleichung und
Diffusionsgleichung identisch, statt Temperatur und Temperaturleitfähigkeit treten hier
Konzentration und
Diffusionskoeffizient auf. Die Wärmeleitungsgleichung lässt sich aus dem
Energieerhaltungssatz und dem Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung herleiten. Die
Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung wird
Wärmeleitungskern genannt.