En
mathématiques, et plus précisément en
géométrie différentielle, une
connexion affine est un objet géométrique défini sur une
variété différentielle, qui
connecte des
espaces tangents voisins, et permet ainsi à des
champs de vecteurs tangents d'être
dérivés comme si c'étaient des fonctions définies sur la variété et prenant leurs valeurs dans un unique espace vectoriel. La notion de connexion affine prend ses racines dans la géométrie du et dans le
calcul tensoriel, mais ne fut pleinement développée qu'au début des années 1920, par
Élie Cartan (comme cas particulier de ) et par
Hermann Weyl (qui l'utilisa en partie pour fonder sa description de la
relativité générale). La terminologie est due à Cartan et trouve son origine dans l'identification des espaces tangents dans l'
espace euclidien Rn par des translations : l'idée est qu'un choix de connexion affine fait ressembler (localement) une variété à un espace euclidien, non seulement de façon différentiable en un point, mais en tant qu'
espace affine.