Conjunto gerador de um grupo
Na álgebra abstrata, um
conjunto gerador de um grupo é um subconjunto que não está contido em nenhum subgrupo próprio do grupo. Equivalentemente, um
conjunto gerador de um grupo é um subconjunto, tal que todo elemento do grupo pode ser expresso como a combinação (sob a operação do grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos. Generalizando, se
S é um subconjunto do grupo
G, então <
S>, o
subgrupo gerado por S, é o menor subgrupo de
G contendo todos os elementos de
S, significando a inserção em todos os subgrupos contendo os elementos de
S; Equivalentemente, <S> é o subgrupo de todos os elementos de
G que podem ser expressos como um produto finito de elementos em
S e seus inversos.
Se
G = <S>, então dizemos que
S gera G; e os elementos em
S são chamados
geradores ou
grupo gerador. Se
S é um conjunto vazio, então <
S> é o grupo trivial {
e}, desde que consideremos o produto vazio como sendo Identidade.