Mulher belíssima, Parker ficou marcada pelas personagens determinadas que interpretou ao longo de sua carreira, tendo tornado-se, também, uma atriz de intensa versatilidade, o que a fez ficar conhecida como a mulher de mil faces, que mais tarde foi o título de sua biografia escrita por Doug McClelland.

Ela se tornou mais popular entre as gerações dos anos 1960 e posteriores quando sua carreira já entrava num ocaso, ao integrar o elenco de A noviça rebelde ("The Sound of Music", 1965), mega sucesso internacional estrelado por Julie Andrews e Christopher Plummer, que contou com uma participação especial de Parker no papel da elegante Baronesa Elsa von Schraeder.