O
teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas é um resultado da
teoria analítica dos números demonstrado pelo matemático
Johann Dirichlet. Este
teorema sobre a distribuição dos
números primos em , foi conjecturado por
Gauss e finalmente demonstrado em
1837 por Dirichlet, nome pelo qual é atualmente conhecido. O primeiro teorema de convergência de séries de Fourier, devido a Dirichlet, apareceu em 1829 e se refere à funções monótonas em trechos. Por ele começamos primeiro com uns comentários sobre estas funções. Uma função monótona e cotada em um intervalo [a, b] é integrável e tem limites laterais finitos em cada ponto. Se estes limites não coincidem a função terá uma descontinuidade com um salto finito. A soma dos saltos não pode ser maior que a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo, de modo que o conjunto de descontinuidades com salto maior que 1/n é finito e, portanto, o conjunto de descontinuidades é no máximo numerável. As mesmas propriedades serão certas para uma função monótona em trechos, ou seja, aquela que é monótona em uma quantidade finita de intervalos que unidos dão o intervalo original.