No campo matemático da
geometria diferencial,
uma conexão afim é um objeto geométrico sobre uma variedade diferenciável que conecta
espaços tangentes próximos, permitindo assim que
campos vetoriais tangentes sejam
diferenciados como se fossem funções sobre a variedade com valores em um espaço vetorial fixo. A noção de uma conexão afim tem suas raízes na geometria e cálculo tensorial do século XIX, mas não foi completamente desenvolvida até o início da década de 1920, por
Élie Cartan (como parte de sua teoria geral das conexões) e por
Hermann Weyl (que usou a noção como uma parte de seus fundamentos da relatividade geral). A terminologia é devida a Cartan e tem suas origens na identificação de espaços tangentes no
Espaço euclidiano Rn por translação: a ideia é que uma escolha de conexão afim faz uma variedade parecer infinitesimalmente como um espaço euclidiano não somente suave, mas como um
espaço afim.
Sobre qualquer variedade de dimensão positiva existem infinitas conexões afim. Se a variedade for dotada com uma
métrica de Riemann, então existe uma escolha natural de conexão afim, chamada
conexão de Levi-Civita. A escolha de uma conexão afim é equivalente à prescrição de um modo de diferenciar campos vetoriais que satisfazem diversas propriedades razoáveis (linearidade e a
regra do produto). Isto fornece uma definição possível de uma conexão afim como uma
derivada covariante ou conexão (linear) sobre um
fibrado tangente. Uma escolha de conexão afim é também equivalente à noção de
transporte paralelo, que é um método para transportar vetores tangentes ao longo de curvas. Isto também define um transporte paralelo sobre a estrutura fibrada. Transporte paralelo infinitesimal na estrutura fibrada fornece outra descrição de uma conexão afim, tanto como uma conexão de Cartan para o grupo afim bem como conexão principal sobre a estrutura fibrada.