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Paradoxo de Banach–Tarski
O teorema de Banach–Tarski estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições.
O teorema pode ser generalizado para quaisquer regiões do espaço que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente:
- Sejam X e Y dois subconjuntos de que são limitados e cujo interior não é vazio. Então é possível decompor X e Y em partições finitas {X1, X2, ... Xn} e {Y1, Y2 ... Yn}, tal que cada Xi é congruente a cada Yi
Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha.
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