Em
teoria dos números, a
teoria aditiva dos números estuda o comportamento de subconjuntos dos
naturais sob a operação de soma, como por exemplo o problema de calcular a quantidade de maneiras de expressar um inteiro positivo como a soma de elementos de um certo conjunto de inteiros não-negativos. De maneira mais abstrata, a teoria aditiva dos números inclui o estudo de
grupos abelianos e
semigrupos comutativos com a operação de adição. A teoria aditiva dos números tem muitas ligações com teoria combinatória dos números e geometria dos números. Dois objetos principais de estudo são:
- O sumset de dois subconjuntos
e de um grupo abeliano
;
;
- O k-ésimo sumset de
, i.e.
Dois problemas nesta área são a
conjectura de Goldbach e o
problema de Waring. Muitos destes problemas são estudados usando ferramentas como
o Método do círculo de Hardy-Littlewood e
Teoria dos crivos, além de abordagens mais elementares envolvendo o
método probabilístico. Por exemplo, I. M. Vinogradov provou que todo
número ímpar suficientemente grande é a soma de três
primos, e assim todo inteiro suficientemente grande é pode ser escrito como soma de quatro primos.
D. Hilbert mostrou que dado , todo inteiro não-negativo pode ser expresso como soma de até
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!9G2CGKRAUE&type=0&index=7)
-potências. Em geral, um subconjunto
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!9G2CGKRAUE&type=0&index=57)
dos naturais é chamado de
base assintotica de ordem se todo inteiro suficientemente grande pode ser escrito como soma de exatamente elementos do conjunto
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!9G2CGKRAUE&type=0&index=57)
. Uma base assintótica de ordem é chamado de minimal se não é subconjunto próprio de nenhuma outra base assintotica de ordem.
Grande parte da teoria aditiva dos números moderna se preocupa com as propriedades
assintóticas de bases de ordem finita. Sabe-se que bases minimais de ordem existem para todo , mas existem bases assintóticas de ordem que não contêm sub-bases minimais de mesma ordem.