En
mathématiques, le
théorème de
de Poincaré est un résultat de base sur la structure des
groupes d'
homologie et cohomologie des
variétés, selon lequel, si
M est une variété « fermée » (i.e.
compacte et sans bord) orientée de dimension
n, le
k-ième groupe de cohomologie de
M est
isomorphe à son (
n – k)-ième groupe d'homologie, pour tout
entier naturel k =
n :
La dualité de Poincaré a lieu quel que soit l'
anneau de coefficients, dès qu'on a choisi une orientation relativement à cet anneau ; en particulier, puisque toute variété a une unique orientation
mod 2, la dualité est vraie mod 2 sans hypothèse d'orientation.