Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=3665)
в котором коэффициенты a
n берутся из некоторого
кольца R. Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из R обозначается
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=4525)
. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования и суперпозиции. Пусть
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=1916)
Тогда:
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=1834)
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=3076)
(при этом необходимо должно быть b0=0)![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=2320)
Пространство
![](http://info.babylon.com/onlinebox.cgi?rt=GetFile&uri=!!FEZFM9BUQ2&type=0&index=4525)
имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом R (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо R). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод
производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.