степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты a_n берутся из некоторого кольца R. Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из R обозначается . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования и суперпозиции. Пусть

Тогда:

(при этом необходимо должно быть b₀=0)

Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом R (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо R). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.