 |
בסיס (אלגברה)
| Wikipedia ויקיפדיה העברית - האנציקלופדיה החופשית | Download this dictionary |
בסיס (אלגברה)
באלגברה לינארית קבוצה של וקטורים במרחב וקטורי נקראת בסיס אם היא מקיימת כמה הגדרות שקולות. הגדרה אחת לבסיס היא קבוצה פורשת בלתי תלויה לינארית. הגדרה שקולה לקבוצה שהיא בסיס, היא אם אפשר להציג כל איבר של המרחב כצירוף לינארי של הקבוצה, באופן יחיד. אפשר להגדיר בסיס גם כקבוצה פורשת מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת; או, באופן שקול, כקבוצה בלתי תלויה מקסימלית, כלומר כזו שאם יוסיפו לה ולו וקטור אחד היא תפסיק להיות בלתי תלויה.
לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ומספר הווקטורים שבבסיס מוגדר באופן חד-משמעי, והוא נקרא ממד. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה לינארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור את וקטור הקואורדינטות המתאים לו. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון העתקה לינארית) על ידי מבנים קונקרטיים (כגון מטריצה).
בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על הלמה של צורן, וממילא תוצאה זו דורשת את אקסיומת הבחירה.
| להמשך המאמר ראה Wikipedia.org... |
© מאמר זה משתמש בתוכן מ-ויקיפדיה® וכפוף לרשיון לשימוש חופשי במסמכים של גנו GNU Free Documentation License וכפוף לרישיון Creative Commons ייחוס-שיתוף זהה
