Die
reellen Zahlen bilden einen in der
Mathematik bedeutenden
Zahlenbereich. Er ist eine Erweiterung des Bereichs der
rationalen Zahlen, der
Brüche, womit die Maßzahlen der
Messwerte für übliche
physikalische Größen wie zum Beispiel
Länge,
Temperatur oder
Masse als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen haben gegenüber den rationalen Zahlen besondere
topologische Eigenschaften. Diese bestehen unter anderem darin, dass für jedes „stetige Problem“, für das in einem gewissen Sinne beliebig gute, nahe beieinander liegende näherungsweise Lösungen in Form von reellen Zahlen existieren, auch eine reelle Zahl als exakte Lösung existiert. Daher können sie in der
Analysis, der Topologie und der
Geometrie vielseitig eingesetzt werden. Beispielsweise können
Längen und
Flächeninhalte sehr vielfältiger geometrischer Objekte sinnvoll als reelle Zahlen, nicht aber etwa als rationale Zahlen definiert werden. Wenn in
empirischen Wissenschaften mathematische Konzepte – wie zum Beispiel Längen – zur Beschreibung eingesetzt werden, spielt daher auch dort die Theorie der reellen Zahlen oft eine wichtige Rolle.