compactness

In mathematics, and more specifically in general topology, compactness is a property that generalizes the notion of a subset of Euclidean space being closed (that is, containing all its limit points) and bounded (that is, having all its points lie within some fixed distance of each other). Examples include a closed interval, a rectangle, or a finite set of points. This notion is defined for more general topological spaces than Euclidean space in various ways.

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung. Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist nicht erheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist oder nicht.

Het wiskundige begrip compact komt uit de topologie. Het probeert de notie te vatten van een "kleine" of "handelbare" topologische ruimte. Een topologische ruimte wordt compact genoemd als elk van haar open overdekkingen een eindige deeloverdekking heeft. Is dit niet het geval dan wordt zo'n topologische ruimte niet-compact genoemd.

En topologie, on dit d'un espace séparé qu'il est compact, ou qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si, chaque fois qu'il est recouvert par des ouverts, il est recouvert par un nombre fini d'entre eux. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.