décroissance exponentielle

Une quantité est dite sujette à une décroissance exponentielle si elle diminue à un taux proportionnel à sa valeur. Mathématiquement, cela peut être exprimé par l'équation différentielle linéaire suivante, avec N la quantité et λ un nombre positif appelé la « constante de décroissance » :

La solution de cette équation est, en notant N₀ la valeur de N à l'instant t = 0 :


Si l'on considère que la quantité N qui décroît est discrète, c'est-à-dire que N mesure le nombre d'élément d'un ensemble, alors on peut donner une expression de la durée de vie moyenne d'un élément dans cet ensemble :

On l'appelle aussi « constante de temps ». La fonction N vérifie alors :


Il est plus courant de faire usage de la demi-vie d'un système à décroissance radioactive, qui correspond à la durée au bout de laquelle la quantité N est divisée par 2. On note souvent cette durée . Elle est reliée à la constante de décroissance et à la constante de temps par les relations :

On peut également remplacer l'exponentielle de l'expression de la demi-vie pour obtenir :

En physique, la décroissance exponentielle est caractéristique des phénomènes sans vieillissement, c'est-à-dire qui se produisent avec une égale probabilité quelle qu'ait été leur durée de vie. Exemples, le suivi de la diminution :

• du nombre de noyaux radioactifs lors d'une désintégration radioactive d'un élément radioactif ;
• du nombre des charges électriques lors de la décharge électrique d'un condensateur ;
• de la température d'un corps au refroidissement, sans changement de phase ;
• de l'amplitude lors de l'oscillations harmoniques amorties d'un pendule ;
• de la vitesse des réactions chimiques du premier ordre ;
• de l'intensité des ondes électromagnétiques traversant un milieu absorbant ;
• de l'intensité d’émission de la luminescence après excitation.