Une quantité est dite sujette à une
décroissance exponentielle si elle
diminue à un taux proportionnel à sa valeur. Mathématiquement, cela peut être exprimé par l'
équation différentielle linéaire suivante, avec N la quantité et λ un
nombre positif appelé la
« constante de décroissance » :
La solution de cette équation est, en notant N
0 la valeur de N à l'instant
t = 0 :
Quantités dérivées
Durée de vie moyenne
Si l'on considère que la quantité N qui décroît est discrète, c'est-à-dire que N mesure le nombre d'élément d'un ensemble, alors on peut donner une expression de la
durée de vie moyenne d'un élément dans cet ensemble :
On l'appelle aussi
« constante de temps ». La fonction N vérifie alors :
Demi-vie
Il est plus courant de faire usage de la
demi-vie d'un système à décroissance radioactive, qui correspond à la durée au bout de laquelle la quantité N est divisée par 2. On note souvent cette durée . Elle est reliée à la constante de décroissance et à la constante de temps par les relations :
On peut également remplacer l'exponentielle de l'expression de la demi-vie pour obtenir :
Utilisation
En
physique, la décroissance exponentielle est caractéristique des phénomènes sans vieillissement, c'est-à-dire qui se produisent avec une égale
probabilité quelle qu'ait été leur durée de vie. Exemples, le suivi de la diminution :