famille exponentielle

En probabilité et statistique, une famille exponentielle est une classe de distributions de probabilité dont la forme générale est

où x est la variable aléatoire et θ un paramètre.

Les familles exponentielles ont des propriétés algébriques intéressantes. Souvent, elles sont les seules à présenter ces propriétés. Exemples:

• La caractérisation d'une distribution en famille exponentielle permet de reformuler la distribution à l'aide de ce qu'on appelle des paramètres naturels .
• Statistique fréquentiste : elles permettent d'obtenir facilement des  statistiques d'échantillonnage, à savoir les statistiques suffisantes naturelles de la famille, qui résument un échantillon de données à l'aide d'un nombre réduit de valeurs.
• Statistique bayésienne : elles possèdent des prieures conjuguées qui facilitent la mise à jour des distributions dites "subjectives".

De plus, la distribution prédictive a posteriori d'une variable aléatoire de famille exponentielle (à prieure conjuguée) peut toujours s'écrire en forme close (pour autant que le facteur de normalisation de la famille exponentielle puisse lui-même s'écrire en forme close). Il est à noter toutefois que souvent ces distributions ne sont pas elles-mêmes de famille exponentielle. Exemples courants : la t de Student, la bêta-binomiale ou la Dirichlet-multinomiale.

Les familles exponentielles apparaissent de façon naturelle dans la recherche de distributions lors d'applications statistiques, en particulier dans les méthodes bayesiennes.