En
probabilité et
statistique, une
famille exponentielle est une classe de
distributions de probabilité dont la forme générale est
- où x est la variable aléatoire et θ un paramètre.
Les familles exponentielles ont des propriétés algébriques intéressantes. Souvent, elles sont les seules à présenter ces propriétés. Exemples:
- La caractérisation d'une distribution en famille exponentielle permet de reformuler la distribution à l'aide de ce qu'on appelle des paramètres naturels .
- Statistique fréquentiste : elles permettent d'obtenir facilement des statistiques d'échantillonnage, à savoir les statistiques suffisantes naturelles de la famille, qui résument un échantillon de données à l'aide d'un nombre réduit de valeurs.
- Statistique bayésienne : elles possèdent des prieures conjuguées qui facilitent la mise à jour des distributions dites "subjectives".
- De plus, la distribution prédictive a posteriori d'une variable aléatoire de famille exponentielle (à prieure conjuguée) peut toujours s'écrire en forme close (pour autant que le facteur de normalisation de la famille exponentielle puisse lui-même s'écrire en forme close). Il est à noter toutefois que souvent ces distributions ne sont pas elles-mêmes de famille exponentielle. Exemples courants : la t de Student, la bêta-binomiale ou la Dirichlet-multinomiale.
Les familles exponentielles apparaissent de façon naturelle dans la recherche de distributions lors d'applications statistiques, en particulier dans les
méthodes bayesiennes.