first derivative

The derivative of a function of a real variable measures the sensitivity to change of a quantity (a function value or dependent variable) which is determined by another quantity (the independent variable). Derivatives are a fundamental tool of calculus. For example, the derivative of the position of a moving object with respect to time is the object's velocity: this measures how quickly the position of the object changes when time is advanced.

Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion (auch Differentialquotient genannt), deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist (nach der Vorstellung von Leibniz) der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

In de wiskunde is de afgeleide (het differentiaalquotiënt) een maat voor de verandering die een functie ondergaat als de argumenten van deze functie een  infinitesimaal kleine verandering ondergaan.

En analyse, le nombre dérivé en un « point » (réel) x d'une fonction f à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de f au point (x, f(x)). C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de f en x ; ce nombre n'est donc défini que si cette tangente existe.