group action

In mathematics, a symmetry group is an abstraction used to describe the symmetries of an object. A group action formalizes the relationship between the group and the symmetries of the object. It relates each element of the group to a particular transformation of the object.

Durch eine Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung werden in der Mathematik die Elemente einer Gruppe  so mit Selbstabbildungen einer Menge  identifiziert, dass dabei immer das Produkt zweier Gruppenelemente der Hintereinanderausführung der zugehörigen Abbildungen entspricht. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge, die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt. Die Gruppenoperation ermöglicht es in der Algebra, der Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund, und die operierende Gruppe ist häufig von vornherein als Gruppe von Abbildungen gegeben. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. Dabei steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.

En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe.

Говорят, что группа  действует на множестве , если задан гомоморфизм из группы в группу всех перестановок множества . Для краткости часто записывают как .