hypothèse du continu

En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu (HC), due à Georg Cantor, affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels. En d'autres termes : tout ensemble strictement plus grand, au sens de la cardinalité, que l'ensemble des entiers naturels doit contenir une « copie » de l'ensemble des nombres réels. Cantor avait démontré (et publié en 1874) que le cardinal de l'ensemble des nombres réels était strictement plus grand que celui des nombres entiers ; il formula plus tard cette hypothèse, qui résultait d'une analyse des sous-ensembles de la droite réelle, et de sa hiérarchisation des cardinaux infinis, mais il tenta en vain de la démontrer. Cette démonstration constituait le premier de la célèbre liste des 23 problèmes de Hilbert, que celui-ci avait établie pour le congrès international des mathématiciens de 1900 à Paris, afin de guider la recherche en mathématiques du siècle alors naissant.