insieme finito

In matematica, un insieme  è detto finito se esiste una biiezione (ovverosia una funzione sia iniettiva che suriettiva) tra un insieme della forma ed , dove è un numero naturale. Per brevità scriviamo .
Ad esempio l'insieme è finito perché la funzione definita mediante è una biiezione tra ed .
Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito ci occorre il seguente risultato: se è un insieme finito ed esistono numeri naturali e biiezioni allora .
Questo fatto ci consente di definire il numero di elementi di un insieme finito come l'unico naturale tale che esiste una biiezione tra ed (esiste di certo per la definizione stessa di insieme finito ed è unico per il risultato citato).
Tale numero si indica con oppure con e si dice talvolta cardinalità di . Ora possiamo affermare a rigore che l'insieme dell'esempio ha elementi, cioè . Altri esempi: ; per definizione, inoltre, si pone (dove denota l'insieme vuoto). Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.