variational

Variational may refer to:

• Calculus of variations, a field of mathematical analysis that deals with maximizing or minimizing functionals
• Variational method, a way of finding approximations to the lowest energy eigenstate or ground state in quantum physics
• Variational Bayesian methods, a family of techniques for approximating integrals in Bayesian inference and machine learning
• Variational properties, properties of an organism relating to the production of variation among its offspring in evolutionary biology
• Variationist sociolinguistics or variational sociolinguistics, the study of variation in language use among speakers or groups of speakers

Die Variationsrechnung ist eine Sparte der Mathematik, die um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange entwickelt wurde.

En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel, de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du dix-huitième siècle jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950. Le calcul des variations a des applications dans de nombreux domaines :

1. L'inconnue étant une courbe paramétrée, on recherche une courbe de longueur minimale (ou extrémale), autrement dit une géodésique ; c'est une question fondamentale en géométrie différentielle.
2. L'inconnue étant une surface, on recherche, pour un périmètre donné, la surface d'aire maximale (problème d'isométrie).
3. En physique, le principe de moindre action affirme que les mouvements d'un système matériel se produisent de manière, sinon à minimiser l'action, du moins à rendre celle-ci stationnaire. Ces mouvements peuvent donc être déterminés en minimisant ou en rendant stationnaire cette fonctionnelle, ce qui fait du calcul des variations un outil fondamental pour les physiciens (formulation variationnelle des équations de la physique).
4. Une condition nécessaire d'extremum (ou plus généralement de stationnarité) de la fonctionnelle est l'équation d'Euler-Lagrange. Or il arrive que le but qu'on se propose soit précisément la résolution d'une équation différentielle qu'on montre (en résolvant le « problème inverse du calcul des variations ») être l'équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel ; la résolution de celui-ci (effectuée, par exemple, en passant au formalisme hamiltonien) fournit la solution de celle-là.

Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.